Geometrieaufgabe mit Pyramide

[barbara seiler]

Hallo zusammen!

ich hab hier eine Geometrieaufgabe, bei der ich ständig stecken bleibe. Die Lösung in Zahlen hab ich zwar unterdessen herausgefunden - einfach durch Probieren - die Begründung und die Logik dahinter allerdings nicht... weiss jemand von euch, wie das funktionieren könnte?

Die Aufgabe heisst:

"Einem Würfel mit der Kante a = 8 cm ist eine senkrechte quadratische Pyramide mit minimalem Rauminhalt so umzubeschreiben, dass vier Ecken in der Grundfläche der Pyramide und die anderen vier Ecken auf den Seitenkanten der Pyramide liegen. Welche Kantenlängen hat die Pyramide? (Zeigen Sie auch, adss der Rauminhalt bei der gefundenen Lösung minimal ist!)"

ich bin froh um jeden klugen Input...

grüsse, barbara

[Roadrunnerfn]

Also...es ist mir jetzt zu kompliziert, das bis ins Detail auszuarbeiten ( :D ) ...gute Ausrede..gelle?

Aber:
Wie der Würfel in der Pyramide liegt, ist eigentlich klar.

Damit ergeben sich diverse Informationen:
(Grund)Seitenlänge der Pyramide: a
Höhe der Pyramide : h
Würfelseitenlänge : w

Wir machen einen Schnitt durch die Pyramide, mittig und rechtwinklig zur Seitenlänge der Grundfläche (also NICHT diagonal) und erhalten aus dem Rechtwinkligen Dreieck "Mitte a"-"Mitte Grundfläche"-"Pyramidenspitze"

a = w + 2 x a1
h = w + h1
tan∂ = h / 0,5a
tan∂ = w / a1 = 8 / a1
tan∂ = h1 / 0,5w = h1 / 4

All das müssen wir zu einer komplexen Formel zusammenmixen, die alle Unbekannten der Volumenformel der Pyramide ersetzt:
V = 1/3 x a x h

wie gesagt, ich erwarte daraus eine recht komplexe Formel.

Sie wird jedoch -graphisch dargestellt- ein Extrem haben.
evtl. sogar mehrere.

Diese befinden sich an allen Punkten des Graphen, deren Steigung "0" ist.

Man muss also "nur" die komplexe Ausgangsformel ableiten, dann erhält man die "Steigungsformel" und den "Steigungsgraphen" der Urformel.
Diese setzen wir =0 und rechnen aus, welches a : h Verhältnis herauskommt. denn generell müsste die Kantenlänge des Würfels (und somit der Pyramide) hierfür erst mal Wurscht sein. Das trifft für alle ähnlichen Pyramiden zu.
Mit der konkreten Würfelkantenlänge kann man später weitermachen.


Aber frag mich nicht, wie die allg. Volumenformel der Pyramide unter Einbeziehung der Voraussetzung, dass der Würfel wie beschrieben mit seinen Ecken jeweils Element der Pyramide ist, aussieht.
:D

[barbara seiler]

hi Frank!

danke für den Tangens, diese Variante hab ich noch nicht probiert. Ist mal einen Versuch wert...

Ich hab mal mit verschiedenen Verhältnissen gerechnet - denn die kleine Pyramide auf der Spitze muss ja proportional sein zur gesamten Pyramide, das gab dann eine gebrochene Funktion, wobei die Funktion im Zähler schon dritten Grades ist, und die Ableitung davon gab - je nachdem wie ich die erste Funktion erstellte - eine dritten bis fünften Grades, gebrochen natürlich, und um Himmels willen, wie sollte ich da die Nullstellen finden? naja, eben probieren.

Die Lösung ist auf alle Fälle, dass h = 24 ergibt, also die dreifache Höhe des Würfels.

Und irgendwie, scheint mir das einen logischen Zusammenhang zu haben mit der Volumenformel, die 1/3 mal Grundfläche mal Höhe hat.

und irgendwie, scheint mir, verpasse ich nach wie vor eine wesentliche Idee, denn es ist eine Abituraufgabe und alle andern waren von deutlich begrenzterem Schwierigkeitsgrad und mussten nicht durch stundenlanges Probieren erarbeitet werden... aber ich hab mir letzthin mal ein kleines Mathe-Programm heruntergeladen, das Funktionen grafisch darstellt, ich kann das ja mal mit der Funktion füttern und gucken, ob ein Extremum bei 24 auskommt, wie es sein müsste.

grüsse, barbara